Exercices S1

Imaginez que dans cette classe se trouve trois familles de deux ou trois enfants chacune (imaginez comme vous voulez qui en est membre). Nos familles fictives volontaires : {Laure, Laureline}, {Agnès, Blanche}, {Roxane, Anna, Charline}. Les autres sont issus de familles distinctes.

Définissez la relation représentant « sœur de » dans cette classe, selon deux façons raisonnables de comprendre cette expression, l’une réflexive, l’autre irréflexive. Cette relation est-elle transitive ? Définissez la relation sur un sous-ensemble de personnes pour lui faire satisfaire une propriété supplémentaire au choix vue en cours.

Définissez la relation représentant « assis à la gauche de » dans cette classe, en précisant comment vous comprenez cette relation. Quelles propriétés satisfait-elle ?

Avec $S$ et $G$ les relations ci-dessus (dans une certaine acception de votre choix), calculez $S\cup G$ et $S\cap G$. Pour quelles façons de comprendre ces relations a-t-on $S\cup G=\varnothing$ ? Même question pour $S\cap G$. Représentez ces relations graphiquement selon la méthode la plus appropriée.

Démontrer : une relation est asymétrique ssi elle est irréflexive et antisymétrique.

Préciser et démontrer : une relation symétrique n’est pas asymétrique, sauf si…

Préciser et démontrer : une relation asymétrique n’est pas symétrique, sauf si…

Caractériser les relations symétriques et antisymétriques.

Définissons l’inverse de $R$ comme : $R^{-1}=\left\{\left(b,a\right)|\left(a,b\right)\in R\right\}$. Montrer que $R^{-1}$ est réflexive ssi $R$ l’est. Qu’en est-il de ces autres propriétés ?

• Irréflexivité

• Symétrie

• Antisymétrie

• Transitivité

Si $R$ et $S$ sont réflexives, $R\cap S$ est-elle réflexive ? Qu’en est-il de ces autres propriétés ?

• Irréflexivité

• Symétrie

• Antisymétrie

• Transitivité

Définissons $R=\left\{\left(x,y\right)|x,y\in ℝ\wedge x>y+1\right\}$. Quelles propriétés satisfait $R$ ?

Effectuez les exercices 13 et 16 du livre de Roberts, pages 23 et 24, considérant nos cinq propriétés favorites.